Least Squares Estimation

Ordinary Least Squares Estimator

Cross-section에서의 OLS 추정량은 다음과 같았다.

 

$$\mathbf{b} = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y}=\pmb{\beta}+(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\pmb{\epsilon}$$

 

Cross-Section에서 sample 수는 주로 $N$로 나타내고, 시계열에서 sample 수는 주로 $T$로 나타낸다. 따라서 sample parameter만 $N$ 에서 $T$로 바꾸어주면 다음과 같다.

 

$$ \left ( \frac{\mathbf{X}'\mathbf{X}}{T} \right )^{-1} \left ( \frac{\mathbf{X}'\mathbf{y}}{T} \right ) $$

 

이 때,  $ \mathbf{y} = \mathbf{X} \pmb{\beta} + \pmb{\epsilon}  $ 이므로

 

$$\pmb{\beta} + \left ( \frac{\mathbf{X}' \mathbf{X}} {T}\right )^{-1} \left( \frac{\mathbf{X}'\pmb{\epsilon}}{T} \right) $$