1. Financial Time Series and Their Characteristics

1. 1 Asset Returns(자산 수익률)

우리는 현실에서 자산 수익률보다 자산 가격(주가, 부동산 가격 등)을 더 자주 접한다. 그러나 대부분의 금융 분석은 자산 가격 그 자체보다 자산 수익률을 분석 대상으로 삼는다. 자산 수익률을 분석 대상으로 삼는 두 가지 이유는 다음과 같다.

1. 자산 수익률은 단위에 영향을 받지 않기 때문에 투자에 있어서 비교하기 쉬운 지표의 역할을 한다.
2. 통계학적으로도 자산 수익률이 자산 가격보다 더 다루기 쉬운 특성을 갖는다. 

이러한 자산 수익률은 다양한 종류로 나뉜다. 지금부터 살펴보자.

 

One-Period Simple Return(1기간 단순 수익률)

$t$기의 자산 가격을 $P_t$, $t$기의 수익률을 $R_t$라고 하자. 

 

자산을 $t-1$기부터 $t$기까지 보유할 경우 단순 수익률(simple gross return)은 다음과 같다.

$$1+R_t = \frac{P_t}{P_{t-1}} \text{ or } P_t = P_{t-1}(1+R_t).$$

이에 대응되는 단순 순수익률(simple net return)은 다음과 같다.

$$R_t = \frac{P_t}{P_{t-1}}-1 = \frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}.$$

예를 들어, $P_{t-1} = 100$, $P_t=110$이라고 하자. 한눈에 보아도 수익률은 0.1(10%)임을 알 수 있지만 직접 계산해보자.

$$R_t = \frac{110}{100}-1 = \frac{110-100}{100} = 0.1.$$

 

Multi-Period Simple Return(다기간 단순 수익률)

이제는 자산을 $t-k$기부터 $t$기까지 $k$기간 동안 보유할 경우 $k$-기간 단순 수익률(k-period simple gross return)은 다음과 같다.

\begin{aligned}
1+R_t[k]&= \frac{P_t}{P_{t-k}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} \times \frac{P_{t-1}}{P_{t-2}} \times \cdots \times \frac{P_{t-k+1}}{P_{t-k}}\\
& = (1+R_t)(1+R_{t-1})\cdots(1+R_{t-k+1}) \\
& = \prod_{j=0}^{k-1}(1+R_{t-j})
\end{aligned}

이에 대응하는 다기간 단순 순수익률(multi-period simple net return)은 다음과 같다.

$$R_t[k]=\frac{P_t-P_{t-k}}{P_{t-k}}=\prod_{j=0}^{k-1}(1+R_{t-j})-1.$$

 

Annualized Return(연율화된 수익률)

사실 수익률을 비교함에 있어서 실제 시간 간격(actual time interval)은 중요하다(예를 들어, 월간 수익률인지 또는 연간 수익률인지). 만약 시간 간격이 명시적으로 주어지지 않는다면 이는 암묵적으로 1년으로 가정한다. 만약 자산이 $k$년 동안 보유된다면 이때 연율화된(평균) 수익률은 다음과 같이 정의된다.

$$\text{Annualized}\{R_t[k] \} = \left[\prod_{j=0}^{n-1}(1+R_{t-j}) \right]^{1/k} - 1.$$

자세히 보면 이는 $k$기간 단순 수익률들의 기하 평균($n$개의 양수를 모두 곱한 값의 $n$ 제곱근)이며 다음의 과정을 통해 도출 가능하다.

$$\text{Annualized}\{R_t[k] \} = \text{exp}\left[\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\ln(1+R_{t-j}) \right]- 1.$$

산술 평균이 기하 평균보다 계산이 더 간단하고 1기간 수익률은 크지 않기 때문에, 1계 테일러 급수를 이용하여 계산하면 다음을 얻는다.

$$\text{Annualized}\{R_t[k] \} \approx \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}R_{t-j}.$$

그러나 이 근삿값은 때에 따라서 충분하지 않을 수도 있다.

 

Continuous Compounding(연속 복리)

연속 복리 금리가 연간 $r$인 경우, $n$년 후 $A$의 현재가치는 $C$와 같다.

$$C = Ae^{-rn}$$

그 이유는 자연 상수 $e$의 성질에서 기인하는데, 자세한 내용은 생략한다.

예를 들어보자. 연속 복리 금리가 연간 5%인 경우, 10년 후 100만원의 현재가치는 아래와 같다.

$$100 \times e^{-0.05 \times 10} \approx 60.653$$

 

Continuous Compounding Return(연속 복리 수익률)

이제는 수익률을 연속복리를 이용하여 계산하여 보자. 단순 수익률 $(1+R_t)$에 로그를 씌운 값 $r_t$를 연속 복리 수익률 또는 로그 수익률이라고 부르며, 정리하면 다음과 같다.

$$r_t= \ln(1+R_t) = \ln\frac{P_t}{P_{t-1}}=p_t - p_{t-1}.$$

로그 수익률 $r_t$를 사용하는 데에는 몇 가지 이점이 있다. 우선, 다기간 수익률을 생각해보자.

 

\begin{aligned}

{r_{t}}[k] &= \ln(1+R_{t}[k]) = \ln[(1+R_{t})(1+R_{t-1})\cdots(1+R_{t-k+1})] \\

&= \ln(1+R_{t}) + \ln(1+R_{t-1})+\cdots+\ln(1+R_{t-k+1}) \\

&= r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-k+1}

\end{aligned}

 

Portfolio Return(포트폴리오 수익률)

$N$개의 자산으로 이루어진 포트폴리오의 단순 순수익률은 각 자산 수익률의 가중 평균이며, 이 때 각각의 가중치는 총 자산 대비 각 자산의 비율이다. $p$를 포트폴리오, $w_i$를 자산 $i$의 가중치라고 하자. 이 때 포트폴리오 $p$의 단순 수익률은 다음과 같다.  

$$R_{p, t} = \sum_{i=1}^N{w_i R_{it}}$$

 

Dividend Payment(배당금)

각 자산이 주기적으로 배당금을 지급하는 경우, 자산 수익률의 정의는 수정되어야 마땅하다. $D_t$를 $t-1$기와 $t$기 동안 자산을 보유하는 경우의 배당금, $P_t$를 $t$기 말 자산 가격이라고 하자. 이 때 수익률에는 자산가격 변동은 물론 배당금이 고려되어야 한다. 따라서 단순 수익률과 로그 수익률(연속 복리 수익률) 각각은 다음과 같다.

$$R_t = \frac{P_t+D_t}{P_{t-1}}-1$$

$$r_t = \ln (P_t + D_t) -  \ln P_{t-1}$$

 

Excess Return(초과 수익률)

초과 수익률이란 특정 자산과 기준이 되는 자산(reference asset)간의 수익률 격차를 의미한다. 이 때 reference asset은 보통 T-bill과 같은 무위험 자산으로 설정한다. 단순 무위험 자산 수익률을 $R_{0t}$, 로그 무위험 자산 수익률을 $r_{0t}$로 정의할 때, 단순 초과 수익률(simple excess return, $Z_t$) 와 로그 초과 수익률(log excess return, $z_t$)은 다음과 같이 정의된다.

$$Z_t = R_t -R_{0t},  z_t=r_t-r_{0t}$$

금융 논문에서 초과 수익률은 차익 거래 포트폴리오의 수익률로 간주된다. 

 

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1. 2 Distributional Properties of Returns(수익률의 분포적 특성)

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• 1.2.1 Review of Statistical Distributions and Their Moments
• 1.2.2 Distributions of Returns
• 1.2.3 Multivariate Returns
• 1.2.4 Likelihood Function of Returns

1.2.5 Empirical Properties of Returns (수익률의 경험적 특성)

(a) Daily returns of the market indexes and individual stocks tend to have high excess kurtoses. For monthly series, the returns of market indexes have higher excess kurtoses than individual stocks. (일간 수익률은 시장 인덱스와 개별 주식 모두 높은 첨도를 보이며, 월간 수익률은 시장 인덱스가 더 높은 첨도를 갖는다.)

 

(b) The mean of a daily return series is close to zero, whereas that of a monthly return series is slightly larger. (일평균 수익률 $\approx$ 0, 월평균 수익률 > 0 )

 

(c) Monthly returns have higher standard deviations than daily returns. (월간 수익률이 주간 수익률 보다 더 높은 표준 편차를 갖는다. 즉, 변동성이 크다)

 

(d) Among the daily returns, market indexes have smaller standard deviations than individual stocks. This is in agreement with common sense. (일간 수익률 기준으로 시장 인덱스가 개별 주식보다 더 작은 변동성을 갖는다.)

 

(e) The skewness is not a serious problem for both daily and monthly returns. (일간/월간 수익률 모두 왜도는 큰 문제가 아니다.)

 

(f) The descriptive statistics show that the difference between simple and log returns is not substantial. (기술 통계학에 의하면 단순 수익률과 로그 수익률 간의 차이는 심하지 않다.)

1.3 Processes Considered

수익률뿐만 아니라 변동성 과정(volatility process)와 수익률 극단치의 행태(behavior of extreme returns)또한 고려해야 한다. 변동성 과정은 시간의 흠름에 따른 수익률의 조건부 분산의 변화와 관련이 있다. 수익률의 변동성은 시간에 따라 다르면 군집성(Volatilty Clustring)을 띤다는 사실에 주목하자. 실제로, 변동성은 옵션 가치 산정과 리스크 관리에서 중요한 역할을 담당한다.