[Equity]Residual Income Model(잔여이익 모형) - 1

0. Residual Income(잔여이익)

$$RI = NI - \text{ a charge(deduction) for common shareholders' opportunity cost in generating } NI$$

 

  Residual or remaining income after considering the costs of all of a company's capital.  Total equity가 아니라 common share의 equity valuation의 경우 NI 대신 EPS를 이용하기 때문이다.

 

1. Model 

$$ V_0 = B_0 + \sum^{\infty}_{t=1}\frac{RI_t}{(1+r)^t} = B_0 +  \sum^{\infty}_{t=1}\frac{E_t - rB_{t-1}}{(1+r)^t} \tag{1}$$

$\text{where}$

$V_0 = \text{Value of a share of stock today} (t=0)$

$B_0 = \text{Current per-share book value of equity}$

$B_t = \text{Expected per-share book value of equity at any time }t$

$r = \text{Required rate of return on equity investment(cost of equity financing)}$

$E_t = \text{Expected EPS for period }t$

$RI_t = \text{Expected per-share residual income, equal to }E_t-RB_{t-1}$ 

 

- 주의해야 할 점

1. $V_t$와 $B_t$는 stock concept, $E_t$와 $RI_t$는 flow concept이다.
2. $B_{t-1}$은 $t-1$기 말의 BV, 즉 $t$기 초의 BV를 의미한다.(종종 헷갈리니 주의)

[Example]
Assumptions:
(1) Expected EPS; 2.00, 2.50, and 4.00 for the next three years.
(2) Analyists expect that the company will pay divdends of $\$1.00$, $\$1.25$, and $\$12.25$ for three years, where the last dividend is anticipated to be a "liquidating dividend"; analysts expect that the company will cease operation after Year 3. 
(3) The company's current book value is $\$6.00$ per share, and its required rate of return on equity is 10%. 

Q1. Calculate BPS and RI for the next three years.
Q2. Estimate the stock's value using RIM.
Q3. Estimate the stock's value using DDM.

 

Sol 1.

	0	1	2	3
$EPS_t$	-	2.00	2.50	4.00
$DPS_t$	-	1.00	1.25	12.25
$\Delta RE$	-	1.00	1.25	(8.25)
$B_{t-1}$	6.00	7.00	8.25	0

 

Sol 2. RIM

$$V_0 = \$6.00 + \frac{2-0.1 \times 6}{1.1} + \frac{2.5-0.1\times7}{1.1^2}  \frac{4-0.1 \times 8.25}{1.1^3}= \$11.1458$$

 

 

Sol 3. DDM

$$V_0 = \frac{1}{1.1} + \frac{1.25}{1.1^2}  + \frac{12.25}{1.1^3}= \$11.1458$$

 

- 주목할 점 두 가지

1. 주어진 예제에서는 RIM을 이용한 가치평가와 DDM을 이용한 가치 평가의 결과가 동일하다. 뒤에서 살펴보겠지만 RIM은 DDM을 이용하여서도 도출할 수 있다.
2. RIM이 DDM보다 가치를 조기에 인식한다.(Recognition of value typically occurs earlier in RIM than in DDM) 말하자면 RIM에서는 총 가치 $ \$11.15$ 중 $\$6$를 1기에 인식하지만, DDM은 총 가치 중 $\$9.2036$을 3기에 인식한다는 것이다. 

 

1. 1 The General Residual Income Model

  이제 DDM을 이용하여 RIM을 도출해보자. 이를 위해 알아 두어야 할 간단한 관계식이 있다. 

 

Clean Surplus Relation(순수 잉여 관계식)

$$B_t  = B{t-1} + E_t  - D_t \tag{2}$$
즉,  '기말 장부가액 = 기초 장부가액  + 당기 순이익 - 배당금'이다. 

 

  DDM을 다시 떠올려 보자.

$$ V_0 = \sum^{\infty}_{t=1} \frac{D_t}{(1+r)^t} $$

  이 때, $D_t = E_t-(B_t - B_{t-1}) = E_t + B_{t-1} - B_t$를 위의 식에 대입하면 다음과 같다.

$$ V_0 = \frac{E_1 + B_0 - B_1}{(1+r)^1} + \frac{E_2 + B_1 - B_2}{(1+r)^2} + \frac{E_3 + B_2 - B_3}{(1+r)^3} + \cdots $$

  이를 변형하면 다음과 같다. (이해 안 돼서 직접 해 봄; 초항에서 $B_0$를 앞으로 빼내고 $B_1$을 뒤로 밀고...)

$$ V_0 = B_0 + \frac{E_1 - rB_0}{(1+r)^1} + \frac{E_2 - rB_1}{(1+r)^2} + \frac{E_3 - rB_2}{(1+r)^3} + \cdots $$

$E_t - rB_{t-1} \equiv RI_t$ 이므로, 

$$ V_0 = B_0 + \sum^{\infty}_{t=1}\frac{RI_t}{(1+r)^t} \tag{3}$$

  DDM과 형태가 매우 유사한데, 최초의 장부가를 더해준 후에 Residual Income을 할인하여 더해준다는 점에서 차이가 있다. 여기서 식을 조금만 더 변형해보자면, $E_t = ROE_t \times B_{t-1}$이므로 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$ V_0 = B_0 + \sum^{\infty}_{t=1}\frac{(ROE_t - r)B_{t-1}}{(1+r)^t} \tag{4}$$

 

1. 2 Fundamental Determinants of Residual Income

  통상적으로 RIM은 미래의 영업이익이나 성장률에 대하여 어떠한 가정도 하지 않는다. 논의의 편의를 위해서 DDM에서 처럼 상수의 영업이익률($ROE$)과 배당 성장률($g$)을 가정하자. Gordon 모형을 이용하면 다음과 같다.

$$ P_0 = \frac{D_1}{k-g} = \frac{E_1(1-b)}{k-g} $$

  양변을 기초 장부가 $B_0$로 나누어 주면 다음과 같다. 

$$ \frac{P_0}{B_0} = \frac{\frac{E_1}{B_0}(1-b)}{k-g} =  \frac{ROE-g}{k-g} = 1+\frac{ROE-k}{k-g}$$

Justified price $P_0$와 내재 가치 $V_0$가 동일함을 고려하면 다음과 같다.

$$ P_0 = V_0 = B_0 + \frac{ROE-k}{k-g}B_0 \tag{5}$$ 

  위 식에서의 두 번째 항은 식$(4)$의 두 번째 항의 무한등비급수를 정리한 값과 당연히 같다.  $B_0$는 총자산에서 부채를 차감한 가치이고, 두 번째 항은 기업이 산출할 기대 초과 이익의 합을 나타낸다.

   앞서 살펴 보았듯 잔여이익모형은 PBR과 관련성이 높다. 또 다른 관련된 개념은 '토빈의 q (Tobin's q)'이다. 토빈의 q는 다음과 같이 정의된다. 

$$ \text{Tobin's q} = \frac{\text{MV of debt and equity}}{\text{Replacement cost of total assets}}$$

   PBR과 다르게 토빈의 q는 분자에는 부채와 자본의 시장가치가, 분모에는 총자산이 위치한다. 나아가, 자산이 원가(장부가)가 아니라 대체 비용(Replacement Cost)로 계산된다. 이 대체비용은 인플레이션의 영향도 고려하는 값이다. 다른 조건이 동일하다면, 기업 자산의 생산성이 높을수록 토빈의 q가 높다. 그러나 실제로 대체비용에 대한 정보를 얻기 쉽지 않기 때문에 토빈의 q 계산에는 종종 제한이 있다. 

 

 

1. 3 Single-Stage Residual Income Model

1단계 RIM 모형은 식(5) 그 자체이다. 관련된 잡설은 추후 서술...

 

 

1. 4 Multistage Residual Income Model 

  다단계 RIM의 형태는 다단계 DDM, DCF 모형과 유사하다. Continuing residual income은 예측 기간(forecast horizon) 이후의 잔여 이익을 의미한다. ROE는 평균 회귀 성향이 있고 자본 조달 비용으로 감소하는 것으로 알려져 있으므로, 잔여 이익 모형은 주로 자본비용으로 수렴하는 ROE를 모델링한다. ROE가 자본비용으로 수렴할 수록 잔여이익도 0으로 수렴한다. 잔여 이익 모형에서 현재의 장부가치($B_0$)는 총 가치의 많은 부분을 차지하고 최종 가치(terminal value)는 그렇지 않다.(앞의 예제에서 보았음!) 이는 DDM이나 DCF과 대조된다. 애널리스트들은 Continuing RI에 대해 다양한 가정을 하는데, 예를 들면 아래와 같다.

• 잔여이익은 영구적으로 양수이다.
• 잔여이익은 terminal year 이후로 줄곧 0이다.
• 잔여이익은 ROE가 cost of equity로 수렴함에 따라 0으로 수렴한다.