[Fixed Income] 1. Spot Rates & Forward Rates

1. Spot Rates

$$P(t) = \frac{1}{[1+r_t]^t}$$

 

Discount Factor  w/ maturity $t$  $P(t)$

: The price of a risk-free single-unit payment(e.g. €1) at time $T$. Denoted by $P(t)$.

 

Spot Rate $r_t$

: The YTM of the payment.

 

이것이 특정 시점 $t$가 아닌 특정 기간 동안 주어질 경우 각각을 Discount Function, Spot Yield Curve(=Spot Curve)라고 부른다. 정확히 말하자면, spot curve는 다양한 만기의  zero-coupon bond(ZCB) option-free bond나 default-risk-free의 연율화된 수익률을 보여준다. 이 때 ZCB는 만기에 원금을 한 번만 지급함을 유의하자.

* ZCB를 줄여서 zero라고도 부름. 해석에 주의.

 

• 수익률 개념으로서 spot rate는 쿠폰 지급 채권과 달리 재투자 위험이 없기 때문에, 재투자율을 가정해야 하는 complication에서 벗어날 수 있다.
• spot curve는 무위험 ZCB의 시장 가격에 영향을 받기 때문에 시간이 지남에 따라 끊임없이 그 형태가 변화한다.
• default-risk free spot curve는 시장에서 자금의 수급에 따라 결정되는 TVM의 벤치마크로서 사용된다. 
• 만기까지 ZCB를 보유할 경우, stated yield는 actual realized return과 같다. 따라서 만기가 $t$인 ZCB의 수익률을 "$t$ -  year interest rate"라고 하는 것.

 

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2. Forward Rate

spot curve와 마찬가지로 forward curve는 forward rate의 term structure를 나타낸다. forward rate와 forward curve는 현재의 spot curve를 이용하여 수리적으로 도출할 수 있다.

 

forward rate는 교재마다 표기 방식이 약간씩 다르다. 현재 참고하는 교재에서는 (현재로부터)$T^*$시점에 initiate되는 tenor(잔여만기)가 $T$ loan의 fwd rate는 $f(T^*, T)$로 표기한다. 필자는 $F_{T^*, T}$로 표기한다. 때로는 $_{T^*} f_T$로 표기하기도 한다.  이하의 논의에서 사용되는 notation을 간단하게 정리하면 다음과 같다.

 

$0$:현재 시점,  $T^*$: loan initiation,  $T$: tenor(잔존만기),  $T^*+T$:현재부터 만기까지의 기간

$f(T^*,  T)$: fwd rate,   $F(T^*,  T)$: fwd contract price

 

fwd contract는 미래 금리에 대한 약정이므로 계약 시점(contract initiation)에서는 금전적 교환이 일어나지 않는다. fwd buyer는 계약의 구매자이므로 미래의 금리를 약정 금리로 fix하게 된다. $T^*$에 도달하면 contract fwd price를 지불하고, 시간이 지나서 $T^*+T$ 시점에 채권 원금을 받는다.

 

Forward Pricing Model은 fwd contract의 valuation을 나타낸다. 수많은 현대 재무 이론에서처럼 no-arbitrage를 가정한다. no-arbitrage assumption이란 동일한 cash flow를 가진 유가증권은 동일한 가격으로 거래된다는 가정이다. 모형 자체는 다음과 같다. (교재의 notation을 이용하였다.)

 

$$P(T^*+T) = P(T^*) F(T^*, T)$$

 

LHS) 만기가 $T^*+T$인 ZCB를 $P(T^*+T)$의 가격에 매입한다.

RHS) $T^*$시점에 잔여만기가 $T$인 ZCB를 매입하기 위해 오늘 가격이 $F(T^*, T)$인 fwd 계약을 체결한다. 이때 $P(T^*)F(T^*, T)$를 지불한다.

두 계약의 가치는 동일하다.

교재에서는 위와 같이 discount factor $P(T)$와 fwd contract price $F(T_0, T_1)$ 간의 관계식으로 설명하는데, rate로 설명하는 아래의 방식이 조금 더 이해하기 편하다. 사실상 동일한 식이다. 

 

$$1+S_{t_1} = (1+S_{t_0})(1+F_{t_0, t_1}) \Rightarrow   S_{t_1} = (1+S_{t_0})(1+F_{t_0, t_1}) - 1$$

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3. Example

 

$S_1 = 0.07,   S_3 = 0.09$이다. 

1. $P(1) =  \frac{1}{1+0.07}$

2. $P(3) = \frac{1}{(1+0.09)^3}$

3. $(1+S_3)^3  = (1+S_1)(1+F_{1, 3}) \Rightarrow 1+F_{1, 3} = \frac{(1+S_3)^3}{1+S_1}$. Price는 이에 역수를 취해준다.

4. fwd price=0.8262인데,  이는 1년 후에 만기=2년, par=1인 채권의 현재가격인 셈이다. 즉, 1년 후로부터 만기가 2년이고 원금이 1인 채권을 현재 구매하려면 0.8262를 지불해야 한다.